Физические основы механики.

 

8. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ.

 

8.1.            Гармонические колебания.

Рассмотрим простейшую колебательную систему – груз массой , подвешенный на пружине. Рассмотрим вертикальное движение этого груза под действием однократно приложенной силы отклонение обозначим через  и предположим, что имеем дело с абсолютно упругой пружиной. Пружина действует на груз с упругой силой : , где  - жесткость пружины. Механическая система, совершающая колебания около положения равновесия, называется классическим осциллятором. Промежуток времени, по истечении которого движение повторяется, называется периодом колебания и обозначается . Частота колебаний равна числу полных колебаний за   . Выведем уравнение колебаний гармонического осциллятора. Напишем второй закон Ньютона: , где , , в итоге:  или  (1), где  (2). Рассмотренное уравнение (1) является обыкновенным линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянным коэффициентом, его решение имеет вид:  или , где  - амплитуда колебаний, т.е. наибольшее отклонение колеблющегося груза от положения равновесия. Т.к. значения как , так и  через  радиан повторяются, то можно найти связь между  и : , отсюда  (3), где  - собственная круговая частота. Для вращательного движения круговая частота и величина угловой скорости совпадают (  ). Выражение  называют фазой колебания, оно определяет смещение в данный момент времени ,  - начальная фаза, она характеризует смещение в начальный момент времени (  ) и определяется начальными условиями, точно так же как и амплитуда . Пусть , тогда . Из формул (2) и (3) следует, что через период колебания  и не зависит от амплитуды колебаний : . Скорость пропорциональна амплитуде и круговой частоте, . Ускорение пропорционально  и , и по направлению совпадает с направлением силы . Простейшее периодическое колебание, при котором смещение изменяется со временем по закону  или , называется гармоническим колебанием.

 

8.2.            Потенциальная и кинетическая энергия колеблющейся системы.

Известно, что потенциальная энергия упругодеформированного тела равна , где  - коэффициент упругости,  - смещение, отсюда для потенциальной энергии колебания находим . Кинетическая энергия  (1), отсюда находим следующее выражение  (2). Анализ формул (1) и (2) показывает, что когда одна из энергий  или  увеличивается, то другая уменьшается. Полная энергия  остается постоянной, и для пружинного маятника она работой, совершенной внешней силой по сжатию или растяжению пружины.

 

8.3.            Векторная диаграмма гармонического колебания.

Гармоническое колебание  можно представить в виде вектора , вращающегося против хода часовой стрелки с угловой скоростью равной круговой частоте . Проекция вектора  на  будет равна .

8.4.            Комплексная форма представления колебаний.

Формула Эйлера для комплексных чисел , где , поэтому уравнение гармонического колебания  можно записать в экспоненциальной форме: . Вещественная часть представляет собой () смещение  при гармоническом колебании  обычно пишут .

 

8.5.            Сложение одинаково направленных колебаний.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинаковой частоты, смещения которых имею вид  и . Тогда , где  - начальная фаза результирующего колебания. И можем найти , . Пусть  тогда можем определить, что .

 

8.6.      Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Пусть , , тогда траекторией будет прямая линия . Пусть , , тогда траекторией будет эллипс . Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершают одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, такие фигуры называются фигурами Лиссажу.

 

8.7.      Гармонические осцилляторы.

 

8.7.1.      Математический маятник.

Это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити. Тангенциальное ускорение  возникает под действием потенциальной силы .Для малых  можно положить , тогда . С другой стороны тангенциальное ускорение связано с угловым  соотношением , где  - длина нити. Из второго закона Ньютона следует, что  или . Разделим левую и правую часть уравнения на массу:  (каноническое уравнение гармонических колебаний), где . Решением этого уравнения для малых углов  будет следующее выражение: , .

 

8.7.2.      Пружинный маятник.

Это груз массой , подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий колебания около положения равновесия. Для него , .

 

8.7.3.      Физический маятник.

Это твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс тела. На маятник, отклоняющейся на малый угол ,  действуют момент сил , который сообщает угловое ускорение , где - момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку . С учетом этого получаем дифференциальное уравнение: . Разделим правую и левую часть на массу :  (каноническое уравнение гармонических колебаний), где . И , где , где  - приведенная длина физического маятника, это длина такого маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебания данного физического маятника. Т.о. точка , расположенная на расстоянии  от , называется его центром качаний. Период колебаний относительно точек  и  совпадают.

8.8.      Свободные затухающие колебания.

Кроме силы упругости  на тело действует так же сила сопротивления, которая при медленных движениях пропорциональна скорости: , где  - коэффициент сопротивления . Тогда уравнение движения тела (второй закон Ньютона) будет иметь вид . Разделим левую и правую часть на массу:  (уравнение затухающих колебаний), где  - коэффициент затухания . Решение этого уравнения имеет вид: . Проанализируем это уравнение: 1)  тогда , т.е. движение непериодическое (апериодическое); 2)  тогда , где , , .

 

8.8.1.      Логарифмический декремент затухания.

Натуральный логарифм (  ) отношения отклонения системы в момент времени  и  в физике принято называть логарифмическим декрементом затухания, это следующая величина: . Величина, обратная , показывает, число колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в  раз. Величина  называется добротностью колебательной системы. Рассмотренная колебательная система называется диссипативной, т.к. механическая энергия постепенно уменьшается (переходит в другие виды энергии).

 

8.9.      Вынужденные колебания.

В случае, когда вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону, колебания описываются дифференциальным уравнением:  (1), где  - коэффициент затухания,  - собственная частота,  (  - амплитуда вынуждающей силы),  - частота силы. Уравнение (1) неоднородное, его общим решением является следующее выражение: . Эта функция описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда  вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Для данной колебательной системы амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, при чем величина отставания  так же зависит от частоты вынуждающей силы. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Это явление называется резонансом, а частота – резонансной частотой, она равна: , амплитуда при резонансе .

 

 

ForStu / Вопросы / Физика / Экзаменационные вопросы (1 курс МАТИ, 5 факультет)

Copyright © 2004-2017, ForStu

Яндекс.Метрика