Физические основы механики.

 

7. ТВЕРДОЕ ТЕЛО В МЕХАНИКЕ.

 

7.1.            Степени свободы. Сообщенные координаты.

Положение точки в пространстве задается некоторым числом независимых координат, например, тремя координатами декартовой системы, но вместо прямоугольных можно взять цилиндрические или сферические координаты. Существенно, что при любом выборе число независимых координат равно трем, про такую точку говорят, что она обладает тремя степенями свободы. Пусть материальная точка все время вынуждена находиться на какой-либо заданной поверхности, итак независимыми остаются две координаты, третья координата может быть вычислена из уравнения связи . В таких условиях точка обладает двумя степенями свободы. Если точка может перемещаться только вдоль заданной кривой, то число степеней свободы один.

7.2.      Число степеней свободы твердого тела.

Абсолютно твердым телом называют идеализированную систему материальных точек, все расстояния между точками при движении системы не изменяются с течением времени. Чтобы однозначно определить положение твердого тела достаточно задать положение каких либо трех точек , ,  не лежащих на одной прямой. Положение точек можно задать их прямоугольными координатами . Эти девять координат связаны тремя соотношениями приведенными далее: , , . Независимых координат остается только шесть – твердое тело имеет шесть степеней свободы.

 

7.3.      Уравнение движения и равновесия твердого тела.

Уравнение движения центра масс:  (1), уравнение момента:  (2). Если твердое тело покоится, то уравнения (1) и (2) переходят в: , . Это необходимые условия равновесия твердого тела, но они не являются достаточными.

 

7.4.      Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Движение твердого тела, при котором все точки прямой , жестко связанной с телом, остаются неподвижными, называется вращением тела вокруг неподвижной оси . Такое твердое тело имеет одну степень свободы. И его положение в пространстве полностью определяется значением угла поворота вокруг оси вращения из некоторого начального положения этого тела. Мерой перемещения тела за малый промежуток времени  принят вектор  элементарного поворота тела, по модулю он равен углу поворота тела и за время  направлен вдоль от вращения так, что если смотреть вдоль него, то поворот  виден происходящим по часовой стрелке. Вектор угловой скорости . Если  радиус-вектор из некоторой точки  на оси вращения до произвольной материальной точки тела, то скорость этой точки определяется следующим соотношением: , где  - составляющая вектора  перпендикулярная оси. Уравнение динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси  имеет вид , где  и  - проекция моментов импульса  и  на ось вращения. Определим момент импульса относительно точки  на оси  полагая , где  - центр окружности, по которой движется  материальная точка. . Первое слагаемое перпендикулярно оси , а второе параллельно. Т.о.:  или , где  - момент инерции относительно оси . Тогда уравнение динамики тела, вращающегося относительно неподвижной оси  имеет вид:  или .

 

7.5.      Теорема Штейнера.

Момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями: , где  - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела,  - момент инерции тела относительно некоторой оси ,  - расстояние между осями.

 

7.6.      Кинетическая энергия при плоском движении.

Плоским (плоскопараллельным) движением называется такое движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях: , где первое слагаемое кинетическая энергия для поступательного движения, а второе кинетическая энергия для вращательного движения. Аналогичные величины для поступательного и вращательного движения: , , , , ,  или , .

 

 

ForStu / Вопросы / Физика / Экзаменационные вопросы (1 курс МАТИ, 5 факультет)

Copyright © 2004-2017, ForStu

Яндекс.Метрика