Лабораторная работа3

 

ИЗУЧЕНИЕ ТЕОРИИ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА

 

 

Цель работы

 

Задачей данной работы является ознакомление с простей-шим случаем затухающих колебаний пружинного маятника

 

 

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

 

-      набор пружин и грузов

-      измерительная установка для отсчета отклонений грузов

-      секундомер

 

 

МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

 


Пружинный маятник – это грузик, подвешенный на пру-жине (рис. 3.1). После отклонения от положения равновесия он будет совершать вертикальные гармонические колеба-ния, если упругая пружина такова, что сила деформации пропорциональна величине удлинения пружины (, где – коэффициент упругости).

Колебания грузика описываются уравнением:

 

.                                     (3.1)

 

Это – дифференциальное уравнение собственных незату-хающих колебаний с частотой:

 

.

 


Если в колеблющейся системе действуют диссипативные силы типа сил трения, пропорциональные скорости, то ко-лебания системы будут затухающими (рис. 3.2).

 

 

Уравнение колебаний будет иметь вид:

 

,                                (3.2)

 

где  – коэффициент затухания колебаний.

Решение дифференциального уравнения (3.2) имеет вид:

.                        (3.3)

 

Из выражения (3.3) видно, что амплитуда колебаний уменьшается со временем по закону:

 

.                                (3.4)

 

Период затухающих колебаний больше периода собст-венных незатухающих колебаний:

 

,                                (3.5)

 

.                                (3.6)

 

Затухание колебаний принято характеризовать логариф-мическим декрементом затухания:

 

.                        (3.7)

 

Учитывая, что ,

 

.                                     (3.8)

 

Пусть  будет отклонение, которое имеет место через время , т.е. через  колебаний после отклонения . Тогда можно записать:

 

,

 

откуда

 

,

 

                                (3.9)

 

Для пружинного маятника, колеблющегося в воздухе, ве-личина логарифмического декремента лежит в пределах от 0,01 до 0,1. Из теории затухающих колебаний следует, что вид  имеет вид прямой. Здесь  – амплитуда колебания.

Энергия колебательного движения изменяется по закону

 

,                              (3.10)

 

где  – постоянная времени затухания (время релаксации), показывающая, что амплитуда колебания уменьшается за время  в  раз. – величина, обратная коэффициенту затухания .

Из (3.10) видно, что энергия осциллятора расходуется на работу против диссипативных сил и превращается во внут-реннюю энергию.

Мощность потерь, т.е. скорость рассеяния энергии, с од-ной стороны,

 

,

 

а с другой, с учетом (3.10),

 

.                                    (3.11)

 

Качество колебательной системы, ее способность сохра-нять запасенную энергию характеризуется добротностью Q, которая определяется отношением запасенной энергии к потерям за время

 

.                                    (3.12)

 

C учетом (3.11) выражение для добротности принимает вид:

 

.                                 (3.13)

 

Из (3.13) следует, что добротность колебательной сис-темы равна числу колебаний за время ; причем за это время амплитуда уменьшается в  раза, а энергия в  раз.

 

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.

 

Упражнение 1

 

1.Эксперимент проводят по схеме рис. 3.1.

2. Несколько раз (4-5) измерить время , за которое гру-зик совершит  колебаний. Полученные значения занести в таблицу 1. Вычислить средний период затухаю-щих колебания по формуле:

 

.

 

Вычислить среднее значение периода , абсолютную  и относительную ошибку измерений. Результат занести в таблицу 1.

 

Таблица 1

Определение среднего значения периода

№ пп

Число колебаний

Время колебаний

Период колебаний

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

Упражнение 2

 

3. Установить первоначальное значение амплитуды (наибольшее отклонение от положения равновесия)  око-ло 5 см. Отпустив грузик, одновременно измерить время  и число полных колебаний , за которое амплитуда умень-шится на 50% от первоначальной величины: . Провести данный опыт не менее 5 раз при одном и том же значении . Полученные значения занести в таблицу 2. Вычислить средние значения  и , Результат занести в таблицу 2.

 

 

 

Таблица 2

№ пп

Число колебаний

Время колебаний

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

5

 

 

 

4. Вычислить значение коэффициента затухания:

 

 

и его абсолютную ошибку

 

,

 

где   относительная ошибка .

5. Вычислить коэффициент сопротивления:

 

 

и его абсолютную ошибку

 

 

6. Рассчитать время релаксации:

 

 

и его абсолютную ошибку

 

7. Рассчитать значение логарифмического декремента затухания:

 

 

и его абсолютную ошибку

 

 

где  – относительная ошибка .

8. Вычислить теоретическое значение логарифмического декремента затухания

 

,

 

взяв значение  из п.2, а значение   из п.4.

Найти относительную ошибку

 

 

где  и  – относительные ошибки  и .

Рассчитать абсолютную ошибку

 

 

Сравнить теоретическое и экспериментальное значение логарифмического декремента из пп.7,8 с учетом ошибок измерений и сделать вывод.

9. Вычислить значение добротности:

 

 

используя значение  из п.2, а   из п.4.

Рассчитать относительную ошибку добротности, исполь-зуя относительные ошибки  и :

 

 

и абсолютную ошибку

 

.

 

Упражнение 3

 

10. Одеть на грузик пластину для увеличения сопротив-ления воздуха. Схема эксперимента представлена на рис. 3.3. Повторить пп. 3-9. Результаты занести в таблицу 3, анало-гичную таблице 2. Сравнить полученные значения коэффи-циента затухания  и логарифмического декремента , сделать выводы.


 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Оцените относительную ошибку в определении .

2. Сформулируйте основное предположение метода наи-меньших квадратов (МНК), используйте МНК при постро-ении графиков.

3. Начертите график Т2=f(m) по МНК.

4. Оцените абсолютную и относительную ошибку при из-мерении массы.

5. Оцените абсолютную и относительную ошибку в опре-делении  (наклона прямой).

6. Начертите график Т2=f(m) по МНК.

7. Найдите по графику среднее значение К.

8. Оцените, совпадают ли и с какой точностью значения Кi,  полученные по графику и рассчитанные в упражнении 1.

9. Объясните, почему не рекомендуется брать большие зна-чения начальной амплитуды А0?

10. Оцените относительную погрешность измерения А0 и А(t),

11. Оцените относительную погрешность определения ло-гарифмического декремента затухания

12. Оцените относительную погрешность определения ко-эффициента сопротивления b.

13. Оцените абсолютную и относительную погрешность определения периода (в упражнении 1) .

14. Выведите уравнение для энергии затухающих колеба-ний в зависимости от времени, нарисуйте график.

15. Объясните, что характеризует время релаксации (пос-тоянная времени затухания).

16. Оцените мощность потерь энергии.

17. Укажите, как связаны добротность и время релакса-ции.

18. Выведите уравнение затухающих колебаний?

19. Чем определяется период затухающих колебаний?

20. Как зависит от времени амплитуда затухающих ко-лебаний?

21. Как связан логарифмический декремент затухания и амплитуда колебаний?

22. Как связан логарифмический декремент затухания с коэффициентом сопротивления и периодом?

23. Выведите выражение для энергии затухающих коле-баний.

24. Как связаны потери энергии и добротность?

25. Определите выражение для добротности контура.

26. Как связаны добротность и логарифмический декре-мент затухания?

27. Определите время релаксации. Свяжите его с коэф-фициентом сопротивления и логарифмическим декремен-том.

28. Какими являются колебания в данной работе – зату-хающими или незатухающими?

29. При каком значении коэффициента сопротивления ко-лебания прекращаются?

30. Чем отличаются колебания пружинного маятника в го-ризонтальной и вертикальной плоскости?

 

ForStu / Практика / Физика / МЕТОДИЧКИ+ЛАБЫ(2 курс МАТИ, 5 факультет)

Copyright © 2004-2017, ForStu

Яндекс.Метрика