Лабораторная работа №2

 

ИССЛЕДОВАНИЕ затухающих крутильных колебаний

 

 

Цель работы

 

Определение параметров колебательной системы – кру-тильного маятника с затуханием, колебания которого слу-жат моделью движения во многих задачах классической и квантовой физики.

 

 

Описание экспериментальной установки


Крутильный маятник (рис.2.1) представляет собой диск, закрепленный на упругой проволоке, другой конец которой зажат в неподвижном кронштейне. Для получения значений углов j поворота маятника служит градуированная шкала на диске.

 

 

Для проведения измерений диаметра проволоки, диамет-ра дисков, длины подвеса служат штангенциркуль и масштаб-ная линейка (указанные параметры установки могут быть заданы).

При повороте тела, закрепленного на упругом подвесе, на малый угол j происходит закручивание проволоки. При этом возникает возвращающий момент упругих сил, равный

 

,                                  (2.1)

 

где  – коэффициент кручения, зависящий от упругих свойств подвеса.

Используя уравнения динамики вращательного движения для крутильных колебаний, получаем

 

                                    (2.2)

или

,                              (2.3)

 

где  – момент инерции диска.

Учитывая, что круговая частота гармонических колеба-ний определяется как

 

,                                   (2.4)

 

то из уравнения (2.3) и (2.4) имеем, что частота и период колебаний крутильного маятника равны соответственно

 

,                                   (2.5)

 

.                            (2.6)

В реальных колебательных системах (осцилляторах) про-исходит диссоциация (рассеяние) запасенной энергии, и сво-бодные колебания со временем затухают. Для учета процес-са рассеяния энергии в дифференциальное уравнение движения (2.3) необходимо ввести слагаемое, характеризу-ющее силу сопротивления движению:

 

,                        (2.7)

 

где  – обобщенный коэффициент сопротивления, который для крутильного маятника является коэффициентом про-порциональности между тормозящим моментом () и уг-ловой скоростью :

 .                                    (2.8)

 

Решение уравнения (2.7) имеет вид:

 

                        (2.9)

 

где  – постоянная времени затухания, показывающая, что амплитуда колебаний

 

 

уменьшается за время  в  раз.

Для крутильного маятника

 

.                                       (2.10)

Частота затухающих колебаний

 

                                 (2.11)

 

меньше собственной частоты .

 

С увеличением момента трения постоянная времени  уменьшается, и при  частота  (2.11) становится мнимой, колебания крутильного маятника прекращаются – движение становится апериодическим. Переход колебатель-ного движения в апериодическое происходит при условии, когда

 

.                                   (2.12)

 

Энергия колебательного движения изменяется по закону

 

,                              (2.13)

 

т.е. энергия осциллятора расходуется на работу против диссипативных сил и превращается во внутреннюю энергию.

Мощность потерь, т.е. скорость рассеяния энергии, с од-ной стороны,

 

,

а с другой, с учетом (2.13),

 

.                                     (2.14)

Качество колебательной системы, ее способность сохра-нять запасенную энергию характеризуется добротностью Q, которая определяется отношением запасенной энергии к потерям за время

 

;       .                       (2.15)

 

Тогда с учетом (2.14) выражение (2.15) принимает вид:

 

.                                 (2.16)

 

Из (2.16) следует, что добротность колебательной систе-мы равна числу колебаний за время ; причем за это время амплитуда уменьшается в  раза, а энергия в  раз.

Затухание колебаний принято характеризовать логариф-мическим декрементом затухания:

 

,                         (2.17)

 

где  – коэффициент затухания колебаний.

Следует отметить, что при малых декрементах затухания колебаний , т.е. при большой добротности  осцил-лятора и с учетом (2.16), добротность равна:

.                                     (2.18)

 

 

 

Порядок выполнения работы

 

Упражнение 1

 

1. Измерить диаметр  проволоки подвеса и диаметры  и  дисков (штангенциркулем) и длину подвеса (линей-кой).

2. Измерить время   колебаний маятника, по-вернув диск приблизительно на 30°. Провести не менее пя-ти таких наблюдений, результаты занести в таблицу 1.

3. Измерить время   колебаний маятника с дву-мя дисками. Провести также не менее пяти экспериментов и результаты занести в таблицу 1.

 

Таблица 1

№ опыта

1, сек

1, сек

t2, сек

T2, сек

1

 

 

t

 

. . .

 

 

 

 

5

 

 

 

 

среднее

 

 

 

 

 

4. По данным п.п. 2, 3 вычислить периоды колебаний маятника с одним (T1) и с двумя (T2) дисками. Определить погрешность с доверительной вероятностью 90%:

 

,

 

где  – средняя квадратичная ошибка (для T2 аналогично ).

5. Рассчитать относительные ошибки

 

 и .

 

 

Упражнение 2

 

5. Измерить время затухания колебаний маятника , за которое амплитуда  колебаний уменьшится примерно вдвое, повернув изначально диск приблизительно на 30°(). Про-вести не менее пяти экспериментов результаты занести в таблицу 2.

 

Таблица 2

№ опыта

, град

, град

, сек

1

 

 

 

. . .

 

 

 

5

 

 

 

среднее

 

 

 

 

6. По данным п. 5 вычислить постоянную времени зату-хания маятника  и погрешность  с доверительной ве-роятностью 90%.

Так как отклонение маятника отсчитывается от некото-рого нулевого положения () (в общем случае отличного от нуля), то закон убывания амплитуды колебаний в со-ответствии с (2.9) имеет вид:

,

 

.                           (2.19)

 

7. Измерения и вычисления по пп. 5,6 повторить для маятника с двумя дисками.

8. Оценить относительный сдвиг частоты (и периода) , обусловленный затуханием колебаний (трением). Следует отметить, что при малом затухании:

 

,

 

поэтому согласно формуле (2.11):

 

,

 

откуда

 

,                               (2.20)

где .

9. Определить момент инерции () маятника из соотно-шения частот для маятника с одним и двумя дисками. На основании (2.5) имеем:

 

                      (2.21)

 

где  – момент инерции второго диска, добав-ляемый к моменту инерции крутильного маятника. Если по п. 8 разница между  и  оказывается пренебрежительно малой, то  можно заменить на , тогда расчетная формула (2.21) примет вид

 

                             (2.22)

 

где  и  определены в п. 4.

10. Найти относительную ошибку  момента инерции маятника по формуле:

 

,

 

где  и  – систематические ошибки  и . Если какое-либо из слагаемых гораздо больше остальных, будет разумно при вычислениях оставлять только его.

11. Рассчитайте абсолютную ошибку

 

.

 

12. Определить коэффициент кручения  по формуле (2.6), используя найденные значения момента инерции маятника  в п. 9 (2.22) и периода  в п.4.

13. Рассчитать относительную ошибку  по формуле:

 

,

 

где  и  – относительные ошибки момента инерции ма-ятника  и периода и абсолютную ошибку . Результат представить в стандартном виде и округлить с нужной степенью точности.

14. Используя найденные значения постоянной времени затухания в п. 6 и момента инерции маятника в п. 9, можно вычислить обобщенный коэффициент сопротивления  по формуле (2.10).

Определить относительную ошибку

 

,

 

где  – относительная ошибка времени релаксации.

15. Вычислить полную энергию маятника

 

 

и мощность потерь по формуле (2.14) для одного значения амплитуды .

16. Вычислить относительную ошибку

 

,

 

где  – систематическая ошибка в определении , и аб-солютную ошибку , результат округлить.

17. Вычислить относительную ошибку мощности потерь

 

 

и абсолютную ошибку

 

.

 

Значение мощности потерь представить в стандартном виде  и округлить.

18. Определить относительную и абсолютную ошибки доб-ротности

 

 и .

Представить значение добротности в стандартном виде  и округлить.

 

 

Контрольные вопросы

 

1. Дайте определение момента инерции.

2. Выведите момент инерции сплошного диска относитель-но оси, проходящей через его центр перпендикулярно плос-кости диска.

3. Выведите уравнение крутильных колебаний.

4. Почему амплитуда колебаний крутильного маятника при измерениях его периода должна быть небольшой?

5. В чем отличие крутильных колебаний от колебаний фи-зического маятника?

6. Напишите решение уравнения затухающих колебаний.

7. Найдите частоту затухающих колебаний, укажите связь с собственной частотой.

8. Нарисуйте зависимость амплитуды затухающих коле-баний от времени.

9. Выведите уравнение для энергии затухающих колеба-ний в зависимости от времени, нарисуйте график.

10. Объясните, что характеризует время релаксации (пос-тоянная времени затухания).

11. Оцените мощность потерь энергии.

12. Определите добротность колебаний системы.

13. Объясните, что такое логарифмический декремент за-тухания.

14. Укажите, как связаны добротность и логарифмичес-кий декремент затухания.

15. Укажите, как связаны добротность и время релакса-ции.

16. Оцените абсолютную и относительную ошибку при определении диаметров проволоки, дисков и длины под-веса.

17. Рассчитайте абсолютную ошибку в определении периода колебаний маятника с одним () и двумя дисками ().

18. Рассчитайте относительную ошибку в определении периода колебаний маятника с одним () и двумя дисками ().

19. Вычислите время релаксации поступательных времен-ных затуханий .

20. Определите относительную ошибку времени затуха-ния.

21. Определите абсолютную ошибку времени затухания .

22. Сравните величину систематической ошибки при оп-ределении времени . при ручном хронометраже с абсолютными ошибками  (в пп.1,3,5) в случае, если   (из п.п.1,3,5). Рассчитайте результирующую погреш-ность как .

23. Вычислите относительный сдвиг частоты  по формуле (2.20), рассчитайте его относительную ошибку по формуле , где  и  – относительные ошибки в определении собственной частоты и времени ре-лаксации .

24. Вычислите по формуле для расчета ошибки косвен-ных измерений абсолютную погрешность в определении момента инерции диска  (2.21).

25. Вычислите по формуле для расчета ошибки косвен-ных измерений относительную погрешность .

26. Вычислить абсолютную и относительную ошибку при определении коэффициента кручения .

27. Вычислите абсолютную и относительную ошибку при определении обобщенного коэффициента сопротивления .

28. Вычислить абсолютную и относительную ошибку при определении полной энергии маятника , учитывая погрешность при определении угла .

29. Вычислить абсолютную и относительную ошибку при определении мощности потерь .

30. Выведите момент инерции сплошного диска относи-тельно оси, проходящей через его центр параллельно плос-кости диска.

 

ForStu / Практика / Физика / МЕТОДИЧКИ+ЛАБЫ(2 курс МАТИ, 5 факультет)

Copyright © 2004-2017, ForStu

Яндекс.Метрика