Правила выполнения простейших арифметических действий.

3.3.2.1. Правила сложения

Пример 3.16. Сложить двоичные числа 11012 и 110112.

Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

                     номера разрядов:   5 4 3 2 1                              

+  1 1 0 12

                                                                           1 1 0 1 12

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а) разряд 1 формируется следующим образом: 12 + 12 = 102; 0 остается в разряде 1, 1 переносится во второй разряд;

б) разряд 2 формируется следующим образом: 02 + 12 + 12 = 102, где вторая 12 – единица переноса; 0 остается в разряде 2, 1 переносится в третий разряд;

в) третий разряд формируется следующим образом: 12 + 02 + 12 = 102, где вторая 12 – единица переноса; 0 остается в разряде 3, 1 переносится в разряд 4;

г) четвертый разряд формируется следующим образом: 12 + 12 + 12 = 112, где третья 12 – единица переноса; 1 остается в разряде 4, 1 переносится в пятый разряд;

д) пятый разряд формируется следующим образом: 12 + 12 = 102; где вторая 12 – единица переноса; 0 остается в разряде 5, 1 переносится в шестой разряд.

Таким образом:

+  1 1 0 12

                                                                           1 1 0 1 12

          10 1 0 0 02.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата:

11012 = 1*23 +1*22 + 0*21 + 1*20 = 8 + 4 + 1 = 13;

110112 = 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 16 + 8 + 2 + 1 = 27;

1010002 = 1*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 0*20 = 32 + 8 = 40.

Поскольку 13 + 27 = 40, двоичное сложение выполнено верно.

Пример 3.17. Сложить шестнадцатеричные числа 1С16 и 7В16.

Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

                     номера разрядов:        2 1                       

+    1 С16

                                                                                7 В16

Процесс образования результата по разрядам описан ниже (он включает преобразование в процессе сложения каждой шестнадцатеричной цифры в десятичное число и обратные действия):

а) разряд 1 формируется следующим образом: С16 + В16 = 12 + 11 = 23 = 1716; 7 остается в разряде 1; 1 переносится в разряд 2;

б) разряд 2 формируется следующим образом: 116 + 716 + 116 = 916, где вторая 116 – единица переноса.

Таким образом:

 

+    1 С16

                                                                                7 В16

                                                             9 716.        

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата:

16 = 1*161 + 12*160 = 16 + 12 = 28;

16 = 7*161 + 11*160 = 112 + 11 = 123;

9716 = 9*161 + 7*160 = 144 + 7 = 151.

Поскольку 28 + 123 = 151, сложение выполнено верно.

3.3.2.2. Правила вычитания

Пример 3.18. Вычесть из двоичного числа 1012 двоичное число 112.

Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке «уменьшаемое – вычитаемое» и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

                     номера разрядов:    3 2 1

- 1 0 12                     

       1 12

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а) разряд 1 формируется следующим образом: 12 – 12 = 02;

б) разряд 2 формируется следующим образом: поскольку 0 < 1 и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 3. Тогда разряд 2 рассчитывается как 102 – 12  = 12;

в) третий разряд формируется следующим образом: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, в разряде остался 0.

 

Таким образом:

- 1 0 12                     

       1 12

     1 02.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата. По табл. 3.1 имеем:

1012 = 5; 112 = 3; 102 = 2.

Поскольку 5 – 3 = 2, вычитание выполнено верно.

Пример 3.19. Вычесть из шестнадцатеричного числа 9716 шестнадцатеричное число 7В16.

Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке «уменьшаемое – вычитаемое» и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

                     номера разрядов:       2 1

    - 9 716

     7 В16

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а) разряд 1 формируется следующим образом: поскольку 716 < В16 и непосредственное вычитание  невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 2. Тогда 1716 – В16 = 23 – 11 = 12 = С16;

б) разряд 2 формируется следующим образом: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, разряд 2 уменьшаемого стал равным 816. Тогда разряд 2 рассчитывается как 816 – 716  = 116.

Таким образом:

- 9 716

 7 В16

 1 С16.

Для проверки результата используем данные из примера 3.17.

Таким образом, вычитание выполнено верно.

3.3.2.3. Правила умножения

Пример 3.20. Умножить двоичное число 1012 на двоичное число 112.

Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

                     номера разрядов:    3 2 1

* 1 0 12                    

       1 12

Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже:

 а) умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 1012 * 12 = 1012;

б) умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1012 * 102 = 10102. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счисления;

в) для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов: 1012 + 10102 = 11112.

Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения (см. табл. 3.1):

1012 = 5; 112 = 3; 11112 = 15.

Поскольку 5 * 3 = 15, умножение выполнено верно: 1012 * 112 = 11112.

Пример 3.21. Умножить шестнадцатеричное число 1С16 на шестнадцатеричное число 7В16.

Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

                     номера разрядов:       2 1

*    1 С16                  

       7  В16

Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже (в процессе умножения выполняем перевод шестнадцатеричных чисел в десятичные и обратно):

 а) умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 1С16 * В16 = 28 * 11 = 308 = 13416;

б) умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1С16 * 706 = 28 * 112 = 3136 = С4016. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счисления;

в) для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов: 13416 + С4016 = D7416.

Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения, воспользовавшись результатами примера 3.17 и правилами формирования полного значения числа:

16 = 28; 7В16 = 123;

D7416 = 13*162 + 7*161 + 4*160 =  3444.

Поскольку 28 * 123 = 3444, умножение выполнено верно: 1С16 * 7В16 = D7416.

3.3.2.4. Правила деления

Рассмотрим правила деления только для двоичных чисел, поскольку деление шестнадцатеричных чисел проще выполнять, переведя их предварительно в десятичную систему счисления.

Пример 3.22. Разделить двоичное число 11112 на двоичное число 112.

Решение задачи представим схемой:

-11112    112

 112            1012

  -0112

     112

       02

Для проверки правильности результата воспользуемся данными из примера 3.20. Они показывают, что деление выполнено верно: 11112 / 112 = 1012.

ForStu / Лекции / Информатика / ВСЁ О КОМПЬЮТЕРЕ (лекция) /

Copyright © 2004-2017, ForStu

Яндекс.Метрика