Лекция 12.

Классификация кривых второго порядка на плоскости. Поверхности второго порядка. Канонические уравнения основных поверхностей второго порядка: эллипсоидов, гиперболоидов и параболоидов.

                            

                             Классификация кривых второго порядка.

 

Рассмотрим общее уравнение второго порядка (11.5):

       

и выясним, какие геометрические образы на плоскости могут задаваться этим уравнением.

1.        Если собственные числа матрицы А λ1 и  λ2  одного знака, уравнение (11.5) называется уравнением  эллиптического типа. Его можно привести к виду (11.7):   , которое, в свою очередь, преобразуется в следующую форму:

а) если имеет тот же знак, что и λ1,2, при делении на получаем

 

                               -  каноническое уравнение эллипса.

б) если =0, уравнение  имеет единственное решение:, определяющее точку на плоскости.

в) если знак  противоположен знаку λ1,2, уравнение после деления на  примет вид:

                           

                 . Множество его решений пусто (иногда это пустое множество называют мнимым эллипсом).

2.        Если собственные числа матрицы А λ1 и  λ2  разных знаков, уравнение (11.5) называется уравнением  гиперболического типа.

а) при  оно сводится к одному из двух видов:

   или    , в зависимости от знака . Оба этих уравнения определяют гиперболу.

б) При =0 получаем уравнение  , эквивалентное двум линейным уравнениям:  и  , задающим пару пересекающихся прямых.

3.        Если одно из собственных чисел равно 0, уравнение (11.5) называется уравнением параболического типа, и его можно привести к одному из следующих видов:

а) к уравнению (11.8):  , определяющему параболу;

б) к уравнению , или , задающему пару параллельных прямых;

в) к уравнению , определяющему одну прямую (или пару совпадающих прямых);

г) к уравнению , не имеющему решений и, следовательно, не определяющему никакого геометрического образа.

 

               Поверхности второго порядка.

 

Определение 12.1. Поверхностью второго порядка называется множество точек трехмерного пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

   -          (12.1)

уравнению второй степени от трех неизвестных, называемому общим уравнением поверхности второго порядка.

 

Если найти собственные числа и нормированные собственные векторы матрицы квадратичной формы  и перейти к системе координат, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов, уравнение (12.1) можно привести к одному из следующих видов:

1.        Если λ1, λ2, λ3 – одного знака, уравнение (12.1) есть уравнение эллиптического типа и приводится к канонической форме:

а)                                    -                                                           (12.2)

каноническое уравнение эллипсоида.

Замечание, Если два собственных числа совпадают, эллипсоид называется эллипсоидом вращения и представляет собой поверхность, полученную в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Если все собственные числа равны, уравнение (12.2) становится уравнением сферы.

б)                     -                                                                              (12.3)

уравнение задает точку в пространстве;

в)                    -                                                                              (12.4)

пустое множество.

2.        Если собственные числа разных знаков, уравнение (12.1) приводится к каноническому виду:

а)    -  каноническое уравнение однополостного гиперболоида,  (12.5)

б)     -                                                                                                   (12.6)

-          каноническое уравнение двуполостного гиперболоида,

в)  -                                                                                                     (12.7)

уравнение конуса второго порядка.

3.        Одно из собственных чисел равно 0. При этом с помощью преобразований координат можно получить следующие формы уравнения (12.1):

а)   -                                                                                                    (12.8)

каноническое уравнение эллиптического параболоида,

б)   -                                                                                                          (12.9)

каноническое уравнение гиперболического параболоида

и уравнения цилиндрических поверхностей:

в)   - эллиптический цилиндр,                                                     (12.10)

г)   - гиперболический цилиндр.                                                 (12.11)

Наконец, уравнение может определять пару плоскостей:

д) .                                                                                                (12.12)

4.        Если два собственных числа равны 0, уравнение (12.1) приводится к одному из следующих видов:

а)   - параболический цилиндр,                                            (12.13)

б)     - пара параллельных плоскостей,                                  (12.14)

в)          - пустое множество.

 

ForStu / Лекции / АлГем / КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 5 ФАКУЛЬТЕТА (ПМХ).

Copyright © 2004-2017, ForStu

Яндекс.Метрика