Лекция 11.

Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.

 

Определение 11.1. Кривыми второго порядка  на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

 

Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс, при пересечении образующих обеих полостей – гипербола, а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола.

 

Замечание. Все кривые второго порядка задаются уравнениями второй степени от двух переменных.

 

                                           Эллипс.        

 

Определение 11.2. Эллипсом  называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

 

Замечание. При совпадении точек F1 и F2 эллипс превращается в окружность.

                                      Выведем уравнение эллипса, выбрав декартову систему

   у              М(х,у)        координат так, чтобы ось Ох совпала с прямой F1F2, начало     

         r1      r2                           координат – с серединой отрезка F1F2. Пусть длина этого 

                                       отрезка равна 2с, тогда в выбранной системе координат

F1   O   F2              x       F1(-c, 0), F2(c, 0). Пусть точка М(х, у) лежит на эллипсе, и                

                                        сумма расстояний от нее до F1 и F2 равна 2а.

                                       Тогда r1 + r2 = 2a, но  ,

поэтому  Введя обозначение b² = a²-c² и проведя несложные алгебраические преобразования, получим каноническое уравнение эллипса:                                                                               (11.1)

 

Определение 11.3. Эксцентриситетом эллипса называется величина е=с/а    (11.2)

 

Определение 11.4. Директрисой Di эллипса, отвечающей фокусу Fi, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с Fi относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а/е от начала координат.

 

Замечание. При ином выборе системы координат эллипс может задаваться не каноническим уравнением (11.1), а уравнением второй степени другого вида.

 

                         Свойства эллипса:

1)       Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b (2a>2b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.

2)       Весь эллипс содержится внутри прямоугольника

3)       Эксцентриситет эллипса e < 1.                                                           

Действительно,

4) Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е, а е<1, следовательно, а/е>a, а весь эллипс лежит в прямоугольнике )

5) Отношение расстояния ri от точки эллипса до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.

Доказательство.

Расстояния от точки М(х, у) до фокусов эллипса можно представить так:

 Составим уравнения директрис:

  (D1),   (D2). Тогда   Отсюда ri / di = e, что и требовалось доказать.

 

                                   Гипербола.

 

Определение 11.5. Гиперболой  называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

 

Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.

|r1 - r2| = 2a, откуда  Если обозначить b² = c² - a², отсюда можно получить

                    

                 - каноническое уравнение гиперболы.             (11.3)

 

 Определение 11.6. Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.

 

Определение 11.7. Директрисой Di гиперболы, отвечающей фокусу Fi, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с Fi относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.

 

                        Свойства гиперболы:

1)        Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

2)        Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями

                                    и   .

3) Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением

                   ,                                                                      (11.3`) 

для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.

4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.

5)   Отношение расстояния ri от точки гиперболы до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.

Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.

 

 

                                       Парабола.

 

Определение 11.8. Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой.

             у                                    Для вывода уравнения параболы выберем декартову

                                                  систему координат так, чтобы ее началом была середина

            d          M(x,y)         перпендикуляра FD, опущенного из фокуса на директри-

                      r                     су, а координатные оси располагались параллельно и

                                             перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD

 D   O      F            x             равна р. Тогда из равенства r = d следует, что

                                                         поскольку

 Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду:    y² = 2px ,                                                                 (11.4)

называемому каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром параболы.

 

                       Свойства параболы:

1)       Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.

2)       Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.

 

Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение:

Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e<1), гиперболу (при e>1) или параболу (при е=1).

 

     Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.

 

Определение 11.9. Линия, определяемая общим уравнением второго порядка

             ,                                             (11.5)

называется алгебраической линией второго порядка.

Для квадратичной формы  можно задать матрицу

                  .                                                                                  (11.6)

   Для того, чтобы перейти к новой системе координат, в которой уравнение линии будет иметь канонический вид, необходимо провести два преобразования:

1)       поворот координатных осей на такой угол, чтобы их направление совпало с направлением осей симметрии кривой (если она имеет две оси);

2)       параллельный перенос, при котором начало координат совмещается с центром симметрии кривой (если он существует).

Замечание. Для параболы новые оси координат должны располагаться параллельно и перпендикулярно директрисе, а начало координат – совпасть с вершиной параболы.

  Поскольку в канонических уравнениях кривых второго порядка отсутствуют произведения переменных, необходимо перейти к координатной системе, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов матрицы А. В этом базисе уравнение (11.5) примет вид:

               (в предположении, что λ1,2 не равны 0).

Зададим последующий параллельный перенос формулами:

             . Получим в новой координатной системе уравнение

                                             .                                                     (11.7)

Рассмотрим возможные геометрические образы, определяемые этим уравнением в зависимости от знаков λ1, λ2 и :

1)       если собственные числа матрицы А λ1 и  λ2  и одного знака, уравнение (11.7) представляет собой каноническое уравнение эллипса:

                               , где      

(случаи  и , имеющего знак, противоположный знаку λ1, λ2, будут рассмотрены в следующей лекции).

2)       если λ1 и  λ2  имеют разные знаки, уравнение (11.7) является каноническим уравнением гиперболы:

   или    , в зависимости от знака .

В случае, когда одно из собственных чисел матрицы А равно 0, уравнение (11.5) в результате двух преобразований координат можно привести к виду:

                              ,                                                                              (11.8)

являющимся каноническим уравнением параболы.

 

Пример.

Приведем к каноническому виду уравнение второго порядка

                3x² + 10xy +3y² - 2x – 14y – 13 = 0.

Матрица квадратичной формы  3x² + 10xy + 3y² имеет вид:

                           .

Найдем ее собственные числа и собственные векторы. Составим характеристическое уравнение:  Для координат собственного вектора е1, соответствующегоλ1, получим с учетом нормировки:

 , откуда e1 = {}. Аналогично найдем е2: ,

e2 = {}. Составим матрицу перехода к новому базису, столбцами которой будут координаты собственных векторов: . Тогда

. Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим его вид в новой системе координат:  Заметим, что коэффициентами при x² и y² являются λ1 и λ2.

Преобразуем полученное уравнение:

 Зададим параллельный перенос формулами: . Получим уравнение:  , а после деления на 8:

 - каноническое уравнение гиперболы.

ForStu / Лекции / АлГем / КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 5 ФАКУЛЬТЕТА (ПМХ).

Copyright © 2004-2017, ForStu

Яндекс.Метрика