Лекция 10.

Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

 

Определение 10.1. Квадратичной формой действительных переменных х1, х2,…,хn называется многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени.

Примеры квадратичных форм:

        (n = 2),

        (n = 3).   (10.1)

Напомним данное в прошлой лекции определение симметрической матрицы:

Определение 10.2. Квадратная матрица называется симметрической, если , то есть если равны элементы матрицы, симметричные относительно главной диагонали.

     Свойства собственных чисел и собственных векторов симметрической матрицы:

1)       Все собственные числа симметрической матрицы действительные.

Доказательство (для n = 2).

Пусть матрица А имеет вид: . Составим характеристическое уравнение:

                            (10.2)        Найдем дискриминант:

 следовательно, уравнение имеет только действительные корни.

2)       Собственные векторы симметрической матрицы ортогональны.

Доказательство (для n = 2).

Координаты собственных векторов  и  должны удовлетворять уравнениям:

 Следовательно, их можно задать так:

. Скалярное произведение этих векторов имеет вид:

 По теореме Виета из уравнения (10.2) получим, что  Подставим эти соотношения в предыдущее равенство:  Значит, .

 

Замечание. В примере, рассмотренном в лекции 9, были найдены собственные векторы симметрической матрицы и обращено внимание на то, что они оказались попарно ортогональными.

 

Определение 10.3. Матрицей квадратичной формы (10.1) называется симметрическая матрица  .                                              (10.3)

Таким образом, все собственные числа матрицы квадратичной формы действительны, а все собственные векторы ортогональны. Если все собственные числа различны, то из трех нормированных собственных векторов матрицы (10.3) можно построить базис в трехмерном пространстве. В этом базисе квадратичная форма будет иметь особый вид, не содержащий произведений переменных.

 

          Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

 

Определение 10.4. Каноническим видом  квадратичной формы (10.1) называется следующий вид: .                                       (10.4)

Покажем, что в базисе из собственных векторов квадратичная форма (10.1) примет канонический вид. Пусть

               - нормированные собственные векторы, соответствующие собственным числам λ1,λ2,λ3 матрицы (10.3) в ортонормированном базисе . Тогда матрицей перехода от старого базиса к новому будет матрица

. В новом базисе матрица А примет диагональный вид (9.7) (по свойству собственных векторов). Таким образом, преобразовав координаты по формулам:

                          ,

получим в новом базисе канонический вид квадратичной формы с коэффициентами, равными собственным числам λ1, λ2, λ3:

               .                                                         (10.5)

 

Замечание 1. С геометрической точки зрения рассмотренное преобразование координат представляет собой поворот координатной системы, совмещающий старые оси координат с новыми.

 

Замечание 2. Если какие-либо собственные числа матрицы (10.3) совпадают, к соответствующим им ортонормированным собственным векторам можно добавить единичный вектор, ортогональный каждому из них, и построить таким образом базис, в котором квадратичная форма примет канонический вид.

 

Пример.

Приведем к каноническому виду квадратичную форму

          x² + 5y² + z² + 2xy + 6xz + 2yz.

Ее матрица имеет вид  В примере, рассмотренном в лекции 9, найдены собственные числа и ортонормированные собственные векторы этой матрицы:

 

 Составим матрицу перехода к базису из этих векторов:

(порядок векторов изменен, чтобы они образовали правую тройку). Преобразуем координаты по формулам:

 *                    .

 Получим:

Итак, квадратичная форма приведена к каноническому виду с коэффициентами, равными собственным числам матрицы квадратичной формы.

ForStu / Лекции / АлГем / КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 5 ФАКУЛЬТЕТА (ПМХ).

Copyright © 2004-2017, ForStu

Яндекс.Метрика