Лекция 9.

Линейные преобразования координат. Собственные векторы и собственные числа матрицы, их свойства. Характеристический многочлен матрицы, его свойства.

 

   Будем говорить, что на множестве векторов R задано преобразование А, если каждому вектору хR по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор АхR.

 

Определение 9.1. Преобразование А называется линейным, если для любых векторов х и у и для любого действительного числа λ выполняются равенства:

               А(х + у)=Ах + Ау,   А(λх) = λ Ах.                                                           (9.1)

 

Определение 9.2.  Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует любой вектор х в самого себя.  

Тождественное преобразование обозначается Е:  Ех = х.

   Рассмотрим трехмерное пространство с базисом е1, е2, е3, в котором задано линейное преобразование А. Применив его к базисным векторам, мы получим векторы Ае1, Ае2, Ае3, принадлежащие этому трехмерному пространству. Следовательно, каждый из них можно единственным образом разложить по векторам базиса:

                    Ае1 = а11 е1 + а21 е2 31 е3,

                    Ае2 = а12 е1 + а22 е2 + а32 е3,                                                                     (9.2)

                    Ае3 = а13е1 + а23 е2 + а33 е3    .

Матрица     называется матрицей линейного преобразования А в базисе е1, е2, е3 . Столбцы этой матрицы составлены из коэффициентов в формулах (9.2) преобразования базиса.

 

Замечание. Очевидно, что матрицей тождественного преобразования является единичная матрица Е.

 

  Для произвольного вектора х1е1 + х2е2 + х3е3 результатом применения к нему линейного преобразования А будет вектор Ах, который можно разложить по векторам того же базиса: Ах =х`1е1 + х`2е2 + х`3е3, где координаты x`i можно найти по формулам:

        х`1 = a11x1 + a12x2 + a13x3,

        x`2 = a21x1 + a22x2 + a23x3,                                                                                     (9.3)

        x`3 = a31x1 + a32x2 + a33x3.

Коэффициенты в формулах этого линейного преобразования являются элементами строк матрицы А.

 

                         Преобразование матрицы линейного преобразования

                                             при переходе к новому базису.

 

   Рассмотрим линейное преобразование А и два базиса в трехмерном пространстве: е1, е2, е3 и е1, е2, е3.  Пусть матрица С задает формулы перехода от базиса {ek} к базису {ek}. Если в первом из этих базисов выбранное линейное преобразование задается матрицей А, а во втором – матрицей А, то можно найти связь между этими матрицами, а именно:

                                        А = С-1АС                                                                (9.4)

Действительно,  , тогда А. С другой стороны, результаты применения одного и того же линейного преобразования А в базисе {ek}, т.е. , и в базисе {ek}: соответственно  - связаны матрицей С: , откуда следует, что СА=АС. Умножая обе части этого равенства слева на С-1, получим  С-1СА  = = С-1АС, что доказывает справедливость формулы (9.4).

 

               Собственные числа и собственные векторы матрицы.

 

Определение 9.3. Вектор х называется собственным вектором  матрицы А, если найдется такое число λ, что выполняется равенство: Ах = λх, то есть результатом применения к х линейного преобразования, задаваемого матрицей А, является умножение этого вектора на число λ. Само число λ называется собственным числом  матрицы А.

  Подставив в формулы (9.3)  x`j = λxj, получим систему уравнений для определения координат собственного вектора:

    .

Отсюда

                                          .                                (9.5)

Эта линейная однородная система будет иметь нетривиальное решение только в случае, если ее главный определитель равен 0 (правило Крамера). Записав это условие в виде:

                            

получим уравнение для определения собственных чисел λ, называемое характеристическим уравнением. Кратко его можно представить так:

                            | A -  λE | = 0,                                                                            (9.6)

поскольку в его левой части стоит определитель матрицы А-λЕ. Многочлен относительно λ   | A -  λE| называется характеристическим многочленом  матрицы А.

 

                   Свойства характеристического многочлена:

1)       Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.                                                                                                           Доказательство. (см. (9.4)), но  следовательно, . Таким образом,  не зависит от выбора базиса. Значит, и |AE| не изменяется при переходе к новому базису.

2)       Если матрица А линейного преобразования является симметрической (т.е. аij=aji), то все корни характеристического уравнения (9.6) – действительные числа.

 

              Свойства собственных чисел и собственных векторов:

1)        Если выбрать базис из собственных векторов х1, х2, х3, соответствующих собственным значениям  λ1, λ2, λ3 матрицы А, то в этом базисе линейное преобразование А имеет матрицу диагонального вида:

                                                                                    (9.7)                                                    Доказательство этого свойства следует из определения собственных векторов.

2)        Если собственные значения преобразования А различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.

3)        Если характеристический многочлен матрицы А имеет три различных корня, то в некотором базисе матрица А имеет диагональный вид.

 

Пример.

Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы  Составим характеристическое уравнение:                                                    (1- λ)(5 - λ)(1 - λ) + 6 - 9(5 - λ) - (1 - λ) - (1 - λ) = 0, λ³ - 7λ² + 36 = 0, λ1 = -2, λ2 = 3, λ3 = 6.

Найдем координаты собственных векторов, соответствующих каждому найденному значению λ. Из (9.5) следует, что если х(1)={x1,x2,x3} – собственный вектор, соответствующий λ1=-2, то

                      - совместная, но неопределенная система. Ее решение можно записать в виде х(1)={a,0,-a}, где а – любое число. В частности, если потребовать, чтобы |x(1)|=1, х(1)=

Подставив в систему (9.5) λ2=3, получим систему для определения координат второго собственного вектора  -  x(2)={y1,y2,y3}:

                    , откуда х(2)={b,-b,b} или, при условии |x(2)|=1, x(2)=

Для  λ3 = 6  найдем собственный вектор x(3)={z1, z2, z3}:

                      ,  x(3)={c,2c,c} или в нормированном варианте

х(3) = Можно заметить, что х(1)х(2) = abab = 0, x(1)x(3) = acac = 0, x(2)x(3) = bc - 2bc + bc = 0. Таким образом, собственные векторы этой матрицы попарно ортогональны.

ForStu / Лекции / АлГем / КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 5 ФАКУЛЬТЕТА (ПМХ).

Copyright © 2004-2017, ForStu

Яндекс.Метрика