Лекция 7.

Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

 

   Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

 

Определение 7.1. Уравнение

                                      Ф(х,у) = 0                                                                                    (7.1)

называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии L.

 

Пример.

(х – а)² + (yb)² = R² - уравнение окружности радиуса R с центром в точке (a,b).

 

Замечание. Часто удобно использовать параметрические уравнения линии:

                                                      ,                                                     (7.2)

где функции  и  непрерывны по параметру t.

 

                              Прямая на плоскости.

 

Рассмотрим различные виды уравнений прямой на плоскости.

Пусть прямая проходит через точку М0 (x0,y0)   перпендикулярно  вектору n = {A,B}. Тогда вектор , где М(х,у) – произвольная точка прямой, ортогонален n. Поэтому координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

                        А(х – х0) + В(у – у0) = 0 -                                                          (7.3)

уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Замечание. Вектор n называется нормалью к прямой.

 

Преобразуем уравнение (7.3) к виду:

                     Ах + Ву + (-Ах0 – Ву0) = 0.

Обозначив  -Ах0 – Ву0 = С, получим общее уравнение прямой:

                     Ах + Ву + С = 0.                                                                            (7.4)

Получим теперь уравнение прямой, проходящей через точку М0 (x0,y0) параллельно вектору q = {l,m}. Так как вектор , где М(х,у) – произвольная точка прямой, коллинеарен q, координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

                        ,                                                                          (7.5)

называемому каноническим уравнением прямой. Вектор q при этом называется направляющим вектором прямой. В частности, если прямая проходит через точки М111) и М222), ее направляющим вектором можно считать , и из уравнения (7.5) следует:

                          -                                                                      (7.6)

уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пример.

Составим уравнение прямой, проходящей через точки М(1,2) и N(5,-3). Уравнение (7.6) примет вид:

                   - общее уравнение данной прямой.

 

Обозначив за t значения равных дробей, стоящих в левой и правой частях уравнения (7.5),

можно преобразовать это уравнение к виду:

                   x = x0 + lt,  y = y0 + mt -                                                                    (7.7)

параметрические уравнения прямой.

   Для прямой l, не параллельной оси Оу, можно ввести так называемый угловой коэффициент k – тангенс угла, образованного прямой и осью Ох, и записать уравнение

      у      l                          прямой в виде:

                                                          у = kx + b -                                                   (7.8)           

          b        l1                        уравнение прямой с угловым коэффициентом.

     α      α                         Действительно, все точки прямой l1, параллельной l и проходящей

                                  х    через начало координат, удовлетворяют уравнению  у = kх, а

                                        ординаты соответствующих точек на прямой l отличаются от них

                                        на постоянную величину b.

 

 

                        Неполные уравнения прямой.

Уравнение (7.4) называется полным, если коэффициенты А,В и С не равны нулю, и неполным, если хотя бы одно из этих чисел равно нулю. Рассмотрим возможные виды неполных уравнений прямой.

1)       С = 0  - прямая Ах + Ву = 0 проходит через начало координат.

2)       В = 0  - прямая Ах + С = 0 параллельна оси Оу (так как нормаль к прямой {A,0} перпендикулярна оси Оу).

3)       А = 0  - прямая Ву + С = 0 параллельна оси Ох.

4)       В=С=0 – уравнение Ах = 0 определяет ось Оу.

5)       А=С=0 – уравнение Ву = 0 определяет ось Ох.

 

Таким образом, прямая, задаваемая полным уравнением, не проходит через начало координат и не параллельна координатным осям. Преобразуем полное уравнение прямой следующим образом:

                Ах + Ву + С = 0 |:(-C),                                      (7.9)

где  и  равны величинам  отрезков, отсекаемых прямой на осях Ох и Оу. Поэтому уравнение (7.9) называют уравнением прямой в отрезках.

 

              Угол между прямыми. Условия параллельности и

                          перпендикулярности двух прямых.

 

1. Если прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями

А1х + В1у + С1 = 0   и  А2х + В2у + С2 = 0,

то угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами {A1,B1} и {A2,B2}. Следовательно,

                     .                                                             (7.10)

Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к условиям параллельности и перпендикулярности нормалей:

               - условие параллельности,                                            (7.11)

               - условие перпендикулярности.                        (7.12).

2. Если прямые заданы каноническими уравнениями (7.5), по аналогии с пунктом 1 получим:

                       ,                                                        (7.13)

                   - условие параллельности,                                              (7.14)

                  - условие перпендикулярности.                           (7.16).

Здесь  и - направляющие векторы прямых.

3. Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами (7.8)

          у = k1x  +b1 и y = k2x + b2, где , а α1 и α2 – углы наклона прямых к оси Ох, то для угла φ между прямыми справедливо равенство: φ = α2 - α1. Тогда

    .                                                     (7.17)

Условие параллельности имеет вид:  k1=k2,                                                     (7.18)

условие перпендикулярности      k2=-1/k1,                                                     (7.19)

поскольку при этом tgφ не существует.

 

                           Расстояние от точки до прямой.

 

Рассмотрим прямую L и проведем перпендикуляр ОР к ней из начала координат (предполагаем, что прямая не проходит через начало координат). Пусть n – единичный вектор, направление которого совпадает с ОР. Составим уравнение прямой L, в которое входят два параметра: р – длина отрезка ОР и α – угол между ОР и Ох.

 у                                            Для точки М, лежащей на L, проекция вектора ОМ на прямую

L                                             ОР равна р. С другой стороны, прnOM=n·OM. Поскольку

         Р                                    n={cosα, sinα}, a OM={x,y}, получаем, что

     n         M                                                  x cosα + y sinα = p, или

О                               х                                 x cosα + y sinα ­­- p = 0 -                         (7.20)

                                             - искомое уравнение прямой L, называемое нормальным

                                             уравнением прямой (термин «нормальное уравнение» связан

                                             с тем, что отрезок ОР является перпендикуляром, или нормалью, к данной прямой).

 

Определение 7.2. Если d – расстояние от точки А до прямой L, то отклонение δ точки А от прямой L есть число +d, если точка А и начало координат лежат по разные стороны от прямой L, и число –d, если они лежат по одну сторону от L.

 

Теорема 7.1. Отклонение точки А(х00) от прямой L, заданной уравнением (7.20), определяется по формуле:

            .                                                                          (7.21)

Доказательство.

 

 у   Q                         Проекция OQ вектора ОА на направление ОР равна                 

   P          A                n·OA=x0cosα + y0sinα.   Отсюда δ = PQ=OQ-OP=OQ-p=    

   n                             x0cosα + y0sinα - p, что и требовалось доказать.

O

                   L   

 

 

 

Следствие.

Расстояние от точки до прямой определяется так:

                                                                                         (7.22).

 

Замечание. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число , причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.

 

Пример. Найдем расстояние от точки А(7,-3) до прямой, заданной уравнением

3х + 4у + 15 = 0.  А² + B²=9+16=25, C=15>0, поэтому нормирующий множитель равен

-1/5, и нормальное уравнение прямой имеет вид:  Подставив в его левую часть вместо х и у координаты точки А, получим, что ее отклонение от прямой равно

 Следовательно, расстояние от точки А до данной прямой равно 4,8.

ForStu / Лекции / АлГем / КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 5 ФАКУЛЬТЕТА (ПМХ).

Copyright © 2004-2017, ForStu

Яндекс.Метрика