Лекция 6.

Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства и геометрический смысл. Координатное выражение векторного и смешанного произведения. Условия коллинеарности и компланарности векторов.

 

Будем называть три вектора а,b,c, для которых определен порядок следования, тройкой (или упорядоченной тройкой) векторов.

 

Определение 6.1. Тройка некомпланарных векторов abc называется правой (левой), если после приведения к общему началу вектор с располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами а и b, откуда кратчайший поворот от а к b кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

                         с                                                          с

 


                             b                                                                    a

 


                         a                                                       b

                                                                                                  

abc – правая тройка                           abc – левая тройка

 

Замечание. В дальнейшем будем рассматривать только правые системы координат, т.е. системы, базисные векторы которых образуют правую тройку.

 

                        Векторное произведение векторов.

 

Определение 6.2. Вектор  с называется векторным произведением  векторов а и b, если:

1)       |c| = |a||b|sinφ, где φ – угол между а и b.

2)       ca, cb.

3)       Тройка векторов abc является правой.

 

Обозначения векторного произведения: c = [ab], c = ab.

 

                Свойства векторного произведения.

1)       [ba] = - [ab].

Доказательство. Вектор  -с  удовлетворяет первым двум условиям определения векторного произведения и образует с векторами b и а правую тройку векторов.

 

2)       [ab] = 0 a b.

       Доказательство. Из первого пункта определения 6.2 следует, что модуль векторного произведения ненулевых векторов равен нулю только при sinφ = 0, что соответствует коллинеарности векторов а и b.

 

3)       Модуль векторного произведения |[ab]| равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и b.

Доказательство следует из первого пункта определения 6.2.

 

Определение 6.3. Орт еа произвольного вектора а – это вектор единичной длины, коллинеарный а и одинаково с ним направленный ( | еа| = 1, еа || a).

 

Cледствие из свойства 3. [ab] = Se, где е – орт вектора [ab].

 

4)       [(ka)b] = k[ab].

5)       [(a + b)c] = [ac] + [bc].

6)       Если в декартовой системе координат  a = {Xa, Ya, Za},  b = {Xb, Yb, Zb}, то     

[ab] =         

Доказательство.

Представим векторы а и b в виде: a = Xai + Yaj +Zak,  b = Xbi + Ybj +Zbk. Отметим, что [ij] = k, [jk] = i, [ki] = j, [ii] = [jj] = [kk] = 0. Тогда с использованием свойств 4 и 5 получим:

[(Xai + Yaj + Zak)(Xbi + Ybj + Zbk)] =(YaZbYbZa)i + (XbZaXaZb)j + (XaYbXbYa)k, что доказывает свойство 6.

Пример. Вычислим векторное произведение векторов а = {3, -4, 2} и b = {1, 5, 1}.

[ab] = ={-14, -1, 19}.

 

                    Смешанное произведение векторов.

Определение 6.4. Смешанным произведением векторов а, b и с называется результат скалярного умножения векторного произведения [ab] на вектор с.

Обозначение: abc = [ab]c. 

               Свойства смешанного произведения.

1)       Смешанное произведение [ab]c равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a,b,c, если они образуют правую тройку, или числу, противоположному этому объему, если abc – левая тройка. Если a,b и с компланарны, то [ab]c = 0.

Доказательство.

а) Если a,b и с компланарны, то вектор [ab] ортогонален плоскости векторов а и b, и, следовательно, [ab]c. Поэтому [ab]c = 0.

в) Если a,b,c не компланарны, [ab]c = |[ab]||c| = |c|cosφ, где φ – угол между с и [ab]. Тогда  |c|cosφ – высота рассматриваемого параллелепипеда. Таким образом, [ab]c =V, где выбор знака зависит от величины угла между с и [ab]. Утверждение доказано.

Следствие. [ab]c = a[bc].

Действительно, обе части равенства представляют объем одного и того же переллелепипеда. Поэтому положение векторных скобок в смешанном произведении не важно, и в его обозначении скобки не ставятся : abc.

2)       Если a = {Xa, Ya, Za},  b = {Xb, Yb, Zb}, c = {Xc, Yc, Zc}, то

abc = .

Доказательство. Используя координатную запись скалярного и векторного произведения, запишем:

[ab]c = (YaZbYbZa)Xc + (XbZaXaZb)Yc + (XaYbXbYa)Zc = .

Пример 1. Найдем смешанное произведение векторов a = {-3, 2, -1}, b = {2, 1, 0},   c = {-1, 3, -1}. Для этого вычислим определитель, составленный из их коодинат:

следовательно, векторы компланарны.

 

Пример 2. Найдем объем пирамиды с вершинами в точках А(0, -3, -1), В(3, 3, 2),   

С(1, 0, -3) и D(2, -1, 1).

Отметим, что объем пирамиды ABCD в 6 раз меньше объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC и AD. Найдем координаты этих векторов:

AB = {3,6,3}, AC = {1,3,-2}, AD = {2,2,2}. Тогда AB AC AD =         

Cледовательно, объем пирамиды равен 18:3 =6.         

ForStu / Лекции / АлГем / КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 5 ФАКУЛЬТЕТА (ПМХ).

Copyright © 2004-2017, ForStu

Яндекс.Метрика