Лекция 4.

Ранг матрицы. Теорема о ранге. Вычисление ранга матрицы. Совместность систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Структура общего решения однородной системы линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.

 

Определение 4.1. Минором порядка k матрицы А называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых k строк и k столбцов данной матрицы.

 

Замечание. Таким образом, каждый элемент матрицы является ее минором 1-го порядка.

 

Определение 4.2. Ранг матрицы – это порядок ее наибольшего ненулевого минора.

 

Обозначения: r(A), R(A), Rang A.

 

Замечание. Очевидно, что значение ранга матрицы не может превышать меньшей из ее размерностей.

 

Примеры:

1.  , r(A)=0.

2. . Матрица В содержит единственный ненулевой элемент -  являющийся минором 1-го порядка. Все определители более высоких порядков, составленные из элементов этой матрицы, будут содержать 0-ю строку и поэтому равны 0. Следовательно, r(B)=1.

3. . Единственным минором 3-го порядка является определитель матрицы С, но он равен 0, поскольку содержит пропорциональные столбцы. Следовательно, r(C)<3.

Для того, чтобы доказать, что r(C)=2, достаточно указать хотя бы один минор 2-го порядка, не равный 0, например, Значит, r(C)=2.

4. следовательно, r(E)=3.

 

Замечание. Для матриц большой размерности непосредственное вычисление всех миноров затруднительно. Поэтому в этом случае можно преобразовать матрицу к так называемому треугольному виду (когда элементы, стоящие ниже равны 0), воспользовавшись операциями, не изменяющими ранг матрицы (эквивалентными преобразованиями). К ним относятся:

1)       транспонирование

2)       умножение строки на ненулевое число

3)       перестановка строк

4)       прибавление к элементам данной строки элементов любой другой строки, умноженных на ненулевое число

5)       вычеркивание нулевой строки.

Действительно, любая из этих операций переводит нулевые миноры в нулевые, а ненулевые – в ненулевые. Матрица, полученная в результате, не равна исходной, но имеет тот же ранг.

Пример. Найдем ранг матрицы  . Теоретически ранг этой матрицы может принимать значения от 1 до 4, так как из элементов матрицы можно создать миноры по 4-й порядок включительно. Но вместо того, чтобы вычислять все возможные миноры 4-го, 3-го и т.д. порядка, применим к матрице А эквивалентные преобразования. Вначале добьемся того, чтобы в первом столбце все элементы, кроме первого, равнялись 0. Для этого запишем вместо второй строки ее сумму с первой, а вместо третьей – разность третьей и удвоенной первой:

 

                                            .

Затем из третьей строки вычтем вторую, а к четвертой прибавим вторую:

                                          .

После вычеркивания нулевых строк получим матрицу размерности  для которой максимальный порядок миноров, а, следовательно, и максимально возможное значение ранга равно 2:        

                                       .

Ее минор  следовательно,

 

                                 Теорема о ранге.

 

Определение 4.3. Базисным минором матрицы называется любой ее ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы.

 

Определение 4.4. Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, не все коэффициенты в которой равны 0, равная нулевой строке (столбцу).

В противном случае строки (столбцы) называются линейно независимыми.

 

Замечание. Можно доказать, что необходимым и достаточным условием линейной зависимости строк матрицы является то, что одна из них является линейной комбинацией остальных.

Теорема 4.1. Строки и столбцы матрицы, элементы которых входят в базисный минор, линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией этих строк (столбцов).

 

Доказательство (для строк).

1. Если бы базисные строки были линейно зависимыми, то с помощью эквивалентных преобразований из них можно было бы получить нулевую строку, что противоречит условию, что базисный минор не равен 0.

2. Строка, входящая в базисный минор, является линейной комбинацией его строк, в которой коэффициент при данной строке равен 1, а остальные коэффициенты равны 0.

Докажем это свойство для строки, не входящей в базисный минор.

Добавим к базисному минору эту строку (пусть ее номер – k) и любой столбец матрицы (пусть его номер – j). Затем разложим полученный определитель, равный 0 (так как его порядок больше ранга матрицы) по j-му столбцу:

 Поскольку является базисным минором,  поэтому, разделив полученное равенство на , найдем, что

 для всех j=1,2,…,n, где . Следовательно, выбранная строка является линейной комбинацией базисных строк. Теорема доказана.

 

               Совместность линейных систем.

 

Определение 4.5. Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

 

Определение 4.6. Совместная линейная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

 

Назовем расширенной матрицей системы (2.2) матрицу вида

                   , а матрицей системы – матрицу из коэффициентов при неизвестных.

 

Теорема 4.2 (теорема Кронекера-Капелли). Система (2.2) совместна тогда и только тогда, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

 

Доказательство.

1)       Необходимость: пусть система (2.2) совместна и ее решение. Тогда

      ,                                                                     (4.1)                         то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы системы и, следовательно, столбцов любого ее базисного минора. Поэтому добавление элементов этого столбца и любой строки расширенной матрицы к базисному минору даст нулевой определитель, то есть

2)       Достаточность: если то любой базисный минор матрицы А является и базисным минором расширенной матрицы. Поэтому столбец свободных членов представляет собой линейную комбинацию столбцов этого базисного минора, и, следовательно, линейную комбинацию всех столбцов матрицы А. Если обозначить коэффициенты этой линейной комбинации  то эти числа будут решением системы (2.2), т.е. эта система совместна. Теорема доказана.

 

                            Общее решение однородной линейной системы.

 

Рассмотрим однородную линейную систему

                        .                                      (4.2)

Отметим, что такая система всегда совместна, поскольку имеет нулевое решение  называемое тривиальным.

    Пусть ранг матрицы системы r<n. Предположим, что в базисный минор входят коэффициенты первых r уравнений. Тогда оставшиеся mr уравнений  являются линейными комбинациями, то есть следствиями предыдущих. Поэтому можно оставить в системе только первые r уравнений:

.

Оставим в левой части каждого уравнения неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, а остальные неизвестные перенесем направо:

                               (4.3)

Эта система будет иметь единственное решение относительно неизвестных выражающее их через остальные неизвестные (), которым можно придавать любые произвольные значения. Таким образом, система (4.2) при r<n является неопределенной.

 

Определение 4.7. Неизвестные коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы системы, называются базисными неизвестными, а остальные () – свободными неизвестными.

 

Определение 4.8. Решения системы (4.2)       (4.4) называются линейно независимыми, если линейная комбинация  дает нулевой столбец только при  

Покажем, что число линейно независимых решений системы (4.2) равно nr. Действительно, рассмотрим столбцы вида

                                                     (4.5)              содержащие по  n-r  чисел. Очевидно, что эти столбцы линейно независимы, а любой другой столбец той же размерности является их линейной комбинацией. Пусть эти столбцы задают значения свободных неизвестных системы (4.2).

Тогда базисные неизвестные будут однозначно определяться для выбранных свободных неизвестных из системы (4.3) по правилу Крамера, и все решения системы, соответствующие наборам свободных неизвестных (4.5), образуют  n-r линейно независимых столбцов вида (4.4), то есть n-r линейно независимых решений системы (4.2).

 

Определение 4.9. Любые  nr  линейно независимых решений системы (4.2) называются ее фундаментальной системой решений.

 

Определение 4.10. Фундаментальная система решений линейной однородной системы, в которой свободные неизвестные задаются по формулам (4.5), называется нормальной фундаментальной системой решений.

 

Замечание. Очевидным образом доказываются свойства решений однородной линейной системы (4.2):

Свойство 1. Сумма решений системы (4.2) является ее решением.

Свойство 2. Столбец решений (4.2), умноженный на любое число, тоже есть решение этой системы.

 

Следовательно, любая линейная комбинация фундаментальной системы решений системы (4.2) является ее решением. Можно доказать и обратное утверждение:

 

Теорема 4.3(без доказательства). Любое решение однородной линейной системы (4.2) является линейной комбинацией фундаментальной системы ее решений.

 

Таким образом, любое решение системы (4.2) имеет вид:

          , где - фундаментальная система решений.

 

Пример.

 Решим систему .  Найдем ранг матрицы системы . Преобразуем ее к виду: . Очевидно, что r(A)=2.

Пусть - базисные неизвестные, - свободные неизвестные. Заменим исходную систему системой из первых двух уравнений, коэффициенты которых входят в базисный минор, и перенесем базисные неизвестные в правые части уравнений:

. Пусть . Тогда  Если

то Получена фундаментальная система решений: .

Теперь общее решение системы можно записать в виде: , где С1 и С2 – любые произвольные числа.

 

                 Структура общего решения неоднородной линейной системы.

 

Рассмотрим неоднородную линейную систему (2.2):

              .

Докажем следующие свойства ее решений:

Свойство 1. Сумма любого решения системы (2.2) и любого решения соответствующей однородной системы (4.2) является решением системы (2.2).

 

Доказательство.

Пусть с1, с2,…,сn – решение системы (2.2), а d1, d2,…,dn – решение системы (4.2) с теми же коэффициентами при неизвестных. Подставим в систему (2.2) xi=ci+di:

             .

После перегруппировки слагаемых получим:

           .

Но Следовательно, xi=ci+di является решением системы (2.2).

 

Свойство 2. Разность любых двух решений неоднородной системы (2.2) является решением соответствующей однородной системы (4.2).

 

Доказательство.

Пусть  и - решения системы (2.2). Тогда

Утверждение доказано.

 

Следствие. Общее решение неоднородной системы (2.2) представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы (4.2) и частного решения системы (2.2).

 

Пример.

Общее решение системы  можно записать в виде:

, где - частное решение данной системы.

 

ForStu / Лекции / АлГем / КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 5 ФАКУЛЬТЕТА (ПМХ).

Copyright © 2004-2017, ForStu

Яндекс.Метрика