Лекция 1.

Определение матрицы. Определители второго и третьего порядков, их основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу). Методы вычисления определителей. Понятие об определителе n-го порядка.

 

Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

                          

Обозначения:  А – матрица,  - элемент матрицы,  номер строки, в которой стоит данный элемент,  номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.

 

Определение 1.2. Числа m и n называются размерностями матрицы.

 

Определение 1.3. Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы.

 

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.

                               

 

Определение 1.4. Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

                     .

При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.

 

Примеры.

 

1.           2.

 

Определение 1.5. Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

 

Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

 

 образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали:

 

 

Примеры.

1.

2.

 

Определение1. 6. Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате получается матрица А`, называемая транспонированной по отношению к матрице А, элементы которой связаны с элементами А соотношением   a`ij = aji .

 

 

                            Основные свойства определителей.

 

Сформулируем и докажем основные свойства определителей 2-го и 3-го порядка (доказательство проведем для определителей 3-го порядка).

 

Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

                  

 

Доказательство.

 

 

=   

Замечание. Следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк. При этом из свойства 1 следует, что теми же свойствами будут обладать и столбцы.

 

Свойство 2. При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число, т.е.

                           .

 

Доказательство.

 

      

Свойство 3. Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.   

                              

Доказательство этого свойства следует из свойства 2 при k = 0.

 

Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен 0.

                             

                           

Доказательство.

Свойство 5. Определитель, две строки которого пропорциональны, равен 0.

                          

Доказательство следует из свойств 2 и 4.

 

Свойство 6. При перестановке двух строк определителя он умножается на –1.

                  

 

Доказательство.

 

 

Свойство 7.

 

Доказательство этого свойства можно провести самостоятельно, сравнив значения левой и правой частей равенства, найденные с помощью определения 1.5.

 

Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

              

Доказательство следует из свойств 7 и 5.

 

 

               Разложение определителя по строке.

 

Определение1. 7. Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.

 

Обозначение:  выбранный элемент определителя, его минор.

 

Пример. Для  

 

Определение1. 8.  Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i+j есть число четное, или число, противоположное минору, если i+j нечетно, т.е.

 

    Рассмотрим еще один способ вычисления определителей третьего порядка – так называемое разложение по строке или столбцу. Для этого докажем следующую теорему:

 

Теорема 1.1. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.

                       где i=1,2,3.

Доказательство.

     Докажем теорему для первой строки определителя, так как для любой другой строки или столбца можно провести аналогичные рассуждения и получить тот же результат.

    Найдем алгебраические дополнения к элементам первой строки:

Тогда

   Таким образом, для вычисления определителя достаточно найти алгебраические дополнения к элементам какой-либо строки или столбца и вычислить сумму их произведений на соответствующие элементы определителя.

 

Пример. Вычислим определитель  с помощью разложения по первому столбцу. Заметим, что  при этом искать не требуется, так как следовательно, и  Найдем  и    Следовательно,

=

 

 

                 Определители более высоких порядков.

 

Определение1. 9. Определитель n-го порядка

                    

есть сумма  n!  членов   каждый из которых соответствует одному из n! упорядоченных множеств   полученных  r  попарными перестановками элементов из множества  1,2,…,n.

 

Замечание 1. Свойства определителей 3-го порядка справедливы и для определителей n-го порядка.

 

Замечание 2. На практике определители высоких порядков вычисляют с помощью разложения по строке или столбцу. Это позволяет понизить порядок вычисляемых определителей и в конечном счете свести задачу к нахождению определителей 3-го порядка.

 

Пример. Вычислим определитель 4-го порядка   с помощью разложения по 2-му столбцу. Для этого найдем  и :

 Следовательно,

 

ForStu / Лекции / АлГем / КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 5 ФАКУЛЬТЕТА (ПМХ).

Copyright © 2004-2017, ForStu

Яндекс.Метрика